2025 考研数学二 第20题｜两圆公共区域上的二重积分

两个圆盘 x²+y²≤4x、x²+y²≤4y 的公共部分上求 ∬_D (x−y)² dxdy。先讲清二重积分在算什么（切小块、值乘面积、全部加起来，再分两步变成累次积分），由此明白为什么第一步必须把区域画清楚。全题四步：画出 D、列出积分、算出积分、检查。配方得两个半径为 2 的圆盘，公共部分是一片叶尖在 (0,0)、(2,2) 的叶子；直角坐标上下限带根号、算下去全是三次方，改用极坐标：两圆都过原点，化为 r≤4cosθ、r≤4sinθ，dA=r dr dθ。沿射线“先碰谁，听谁”，上限在 θ=π/4 从 4sinθ 换成 4cosθ；利用关于 y=x 的翻折只算下半片再乘二，降幂和换元算出 12π−112/3≈0.37。最后用到对角线的距离粗估 0<I<1.57、用“细槽”体积解释答案为什么这么小，并演示边界上的两个经典错误和两个小坑，写出考场版解答。